Teorema del coseno

TEOREMA DEL COSENO:

En el triángulo ABC (de la foto ) hemos trazado su altura h_c, desde el vértice C, hasta el punto H, donde divide a la base, AB en dos partes de longitudes que vamos a llamar p y m.; formándose de este modo dos triángulos rectángulos AHC y BHC; utilizando por tanto el teorema de Pitágoras podemos afirmar que:

        
            a² = m² + h_c² = (c – p)² + (b² – p²) = c² + p² -2cp + b² – p² = c² + b² – 2cp;

                                                   a² = c² + b² -2cb·cosA

NOTA:
c = m + p;       m = c – p;       m² = (c – p)²
b² = h_c² + p²; h_c² = b² – p²
cosA = p / b;   p = b·cosA

Del mismo modo podemos obtener las mismas expresiones para los dos vértices restantes, con lo que podemos afirmar que:

TEOREMA DEL COSENO: En un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.

                                                       a² = c² + b² -2cb·cosA
                                                       b² = a² + c² -2ac·cosB

                                                       c² = a² + b² -2ab·cosC

 

Observación importante: Este teorema lo utilizaremos en aquellos problemas en los que conocemos más lados que ángulos, en los otros casos utilizaremos el teorema del seno.