Producto escalar de vectores libres.

El producto escalar de dos vectores libres ṽ y ῶ se define de la siguiente forma:

 v̅ ⋅ ῶ =  |v̅| ⋅ |ῶ| ⋅ cos (v̅ ⋅ ῶ)

Las propiedades más importantes del producto escalar, son:

1. 1.    El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo, por lo que es un número positivo o nulo:

                v̅ ⋅ v̅ = |v̅|² ≥ 0

1. 2.       El producto escalar es conmutativo: 

v̅ ⋅ ῶ = ῶ ⋅ v̅ 

1. 3.       El producto escalar es distributivo respecto de la suma vectorial. 

v̅ ⋅ (u̅ + ῶ) = v̅ ⋅ u̅ + v̅ ⋅ ῶ 

1. 4.       Esta propiedad hace referencia al producto de un número real por un vector:

             (t ⋅ v̅) ⋅ ῶ = v̅ ⋅ (t ⋅ ῶ) = t ⋅ (v̅ ⋅ ῶ); t ∈ R

1. 5.       Perpendicularidad u ortogonalidad de vectores libres. La condición necesaria y suficiente para que dos vectores libres sean perpendiculares u ortogonales, siendo estos diferentes del vector nulo Ō= (0,0), es que su producto escalar sea 0.

                    v̅ ⏊ ῶ ⇔ v̅ ⋅ ῶ = 0

                    v̅ ≠ Ō           ῶ ≠ Ō