Formula deHerón:

_S=√(p(p-a)(p-b)(p-c) )
Siendo p el semiperímetro:  p =a+b+c/2

Area de un triángulo:

_Sabemos que el área de un triángulo es:  S=1/2 · base · alturaaltura

 

 

_Utilizando la expresión del valor del seno del ángulo A en el triángulo coloreado de la foto, obtenemos:

sen A=h/b

_Llevando el valor de la altura h, a la fórmula del área de un triángulo:

                                    S=1/2 · base · altura = 1/2 · c · b · senA

_Por este procedimiento llegamos a obtener las siguientes expresiones para poder calcular el área de un triángulo:

                     S = 1/2 · c · b · senA;   S=1/2 · a · b · senC;   S=1/2 · a · c · senB

Resolución de triángulos cualesquiera:

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA:

• Resolver un triángulo cualquiera es determinar en él todos sus elementos desconocidos y tenemos que tener en cuenta las siguientes relaciones entra sus elementos:

Ø  La suma de sus ángulos es siempre 180º.
Ø  El teorema de los senos.
Ø  El teorema del coseno

• Un triángulo cualquiera queda determinado cuando conocemos al menos tres de ssus elementos, excepto en el caso de sus tres ángulos.

NOTA IMPORTANTE:
    Para que tres segmentos puedan ser lados de un triángulo deben cumplirse que:
La medida de cada uno de los segmentos sea menor que la suma de las medidas de los otros dos y mayor que su diferencia.

 

Teorema del seno

TEOREMA DE LOS SENOS:

En el triángulo ABC (de la foto), hemos trazado su altura h_c, desde el vértice C, hasta el punto H, donde divide a la base, AB en dos, formándose de este modo dos triángulos rectángulos AHC y BHC; Usando las definición de seno, que no dice que el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo, es cateo opuesto cateto opuesto dividido por hipotenusa, tendremos:

                                                                                            
                                                 senA = h_c / b ; à h_c = b · senA
                                                 senB = h_c / a ; à h_c = a · senB
    
  Igualando las expresiones tendremos que:  b · senA = a · senB

a  /  senA   =   b / senB

  Si trazamos la altura desde el vértice A obtendremos que c / senC = b / senB; por lo tanto:

 a  /  senA   =   b / senB =  c / senC

Teniendo en cuenta el razonamiento anterior podemos enunciar el teorema de los senos que dice:

TEOREMA DE LOS SENOS: En un triángulo cualquiera, los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

Teorema del coseno

TEOREMA DEL COSENO:

En el triángulo ABC (de la foto ) hemos trazado su altura h_c, desde el vértice C, hasta el punto H, donde divide a la base, AB en dos partes de longitudes que vamos a llamar p y m.; formándose de este modo dos triángulos rectángulos AHC y BHC; utilizando por tanto el teorema de Pitágoras podemos afirmar que:

        
            a² = m² + h_c² = (c – p)² + (b² – p²) = c² + p² -2cp + b² – p² = c² + b² – 2cp;

                                                   a² = c² + b² -2cb·cosA

NOTA:
c = m + p;       m = c – p;       m² = (c – p)²
b² = h_c² + p²; h_c² = b² – p²
cosA = p / b;   p = b·cosA

Del mismo modo podemos obtener las mismas expresiones para los dos vértices restantes, con lo que podemos afirmar que:

TEOREMA DEL COSENO: En un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.

                                                       a² = c² + b² -2cb·cosA
                                                       b² = a² + c² -2ac·cosB

                                                       c² = a² + b² -2ab·cosC

 

Observación importante: Este teorema lo utilizaremos en aquellos problemas en los que conocemos más lados que ángulos, en los otros casos utilizaremos el teorema del seno.

 

TABLA TRIGONOMETRIA

relaciones trigonometricas

   Relaciones trigonométricas:

1. Seno α · cosecante α=1
2. Coseno α · secante α=1
3. Tangente α · cotangente α =1

razones trigonométricas de un ángulo agudo

·        Razones trigonométricas:

1. El seno del ángulo α es la razón que existe entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa
2. El coseno del ángulo α es la razón que existe entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa
3. La tangente del ángulo α es la razón que existe entre el seno y el coseno, o dicho de otra manera entre el cateto opuesto y el contiguo.

·        A partir de estas tres razones, definimos otras tres inversas a ellas:

1. Cosecante del ángulo α es la razón que existe entre hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo o 1/seno α
2. Secante del ángulo α es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto contiguo al ángulo o 1/coseno α
3. Cotangente del ángulo α es la razón que existe entre el cateto contiguo y el cateto opuesto o 1/tangente α que es lo mismo que: cosecante α/secante α

ternas pitagoricas

Una terna pitagórica son tres enteros positivos a, b, c que cumplen que a² + b² = c². El nombre deriva del teorema de Pitágoras el cual dice que en todo triangulo rectángulo, se cumple que: x² + y² = z² (siendo x , y las longitudes de sus catetos y z la hipotenusa).

• Ejemplos de ternas pitagóricas:

( 3 , 4 , 5 )	( 5, 12, 13)	( 7, 24, 25)	( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

 

ecuacion diofántica

Se llama ecuación diofántica, a cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes pertenecen al conjunto de los números enteros, y las soluciones son números enteros: ecuación diofántica lineal:

• ax+bx=c     ax+bx-c=0
• x²+y²=z²      x²+y²-z²=0 

 

igualdedes notables

Igualdades notables o productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas como las siguientes:

• (m+n)²=m²+n²+2·m·n
•  (m-n)²=m²+n²-2·m·n

 

fotos de los dias que nos hemos reunido para estudiar el examen

Ejercicios 16 y 41 del examen

16/ Encuentra un polinomio cuyas raíces sean -1 y 5 y cuyo término independiente sea 10. ¿Tiene más raíces?

41/ Resuelve la ecuación 5·4^x-1 + 4 = 5·2^x+1 + 2^x-1

Ejercicios preparación del examen

Aquí les dejo todos los ejercicios que hemos realizado los días que nos reunimos los miembros del grupo 5 :

El pasado 20/11/2015  mis compañeros del grupo 5 y yo practicamos haciendo ejercicios de manera conjunta y además estuvimos mirando los ejercicios que tenemos que presentar con el examen, por si nos surgían dudas.

El pasado 18/11/2015  mis compañeros del grupo 5 y yo practicamos haciendo ejercicios de manera conjunta y también resolviendo las dudas que nos iban surgiendo además de enseñar a uno de nuestros compañeros el método de gaus
Aquí os dejo los ejercicios que hicimos los 3 miembro del grupo que fuimos.

ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son aquellas con la fórmula: ax⁴+bx² +c=0
Se resuelve transformando, ejemplo :x⁴-13x²+36=0
        | x²=t   ,     la ecuación quedaría : t²+t+c=0
        |   x⁴=t²            t²-13t+36=0

x²+13x+36=0 al quedar una ecuación de segundo grado se resuelve por la fórmula de segundo grado y queda de resultado:

            x₁=9              x²=9  ,  x=±3
            x₂=4              x²=4   ,  x=±2

transformaciones elementales sobre un sistema de ecuaciones

Las transformaciones elementales sobre un sistema de ecuaciones, son 5:       

1. Intercambiar 2 ecuaciones, E_i ↔ E_j  pero  E_i ≠ E_j
2. Sustituir una ecuación por ella misma multiplicada por un número real ≠ 0
3. Sustituir una ecuación  por ella misma (+) un escalar por otra ecuación distinta
4. Aplicar el método de sustitución
5. Eliminar una ecuación que tenga todo coeficientes 0

  _Ejemplos de la aplicación de las 5 transformaciones elementales:

 5. 0x+0y=0,  la solución de esta ecuación son todas las parejas ordenadas de  números reales (R·R=R²).Ejemplo:  (las dos | representan un corchete):

           X+2y=5   |    la solución de esta ecuación es S
          0x+0y=0   |   su solución ( R²)

Como 0x+0y=0 no aporta nada ya que en (S∩R²=S) la intersección es S , se quita  0x+0y=0 y solo queda x+2y=5

Ya que (R·R=R²) , (R·R·R=R³) , (R·R·R·R=R⁴)… llegamos a la conclusión de que Rⁿ es el conjunto de enetuplas

 Los ejemplos del 1,2,3y4 os les dejo en esta imagen:

sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que tienen más de una ecuación y también tienen que tener más de una incognita ; aunque una ecuación se puede considerar como un sistema de una única solucion y una unica ecuación . Ejem:

•             este es un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas

                                                     a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…a₁x+a₀  

•             esta ecuación es un sistema de una única solución y una ecuación             

Práctica de examen

El sábado 14/11/2015 mis compañeros del grupo 5 y yo practicamos haciendo ejercicios de manera conjunta y también resolviendo las dudas que nos iban surgiendo,  les deja algunos de los ejercicios que realizamos de manera correcta :

ecuaciones irracionales

  Una ecuación irracional es cuando tiene la incógnita bajo el signo radical (debajo   de una raíz). Ejemplo: √(x²-1) +1=0
  
  _ Para resolver las ec. irracionales usamos el siguiente procedimiento :

1. Se aísla un radical en un miembro, pasando los restantes términos al otro miembro (al otro lado del igual)
2. Se eleva al cuadrado los dos miembros de la ecuación tantas veces como sea necesario para eliminar el radical (raíz)
3. Se resuelve la ecuación resultante y se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas verifican la ecuación con radicales, se tiene que comprobar ya que al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones extrañas

Ec.polinómicas de grado mayor que dos

Pueden ser ecuaciones incompletas las cuales son a las que les falta algún término de la ecuación como es el caso de: x³=27 ,esta ecuación en su forma canónica es : x³-27=0y se resolveria; x³=27 , x =³√27  , x=3

Otra ecuación incompleta: x³+4x²+3x=0 , (sacamos factor común a la x)
x(x²+4x+3)=0   ← esto es una ecuación factorizada , a partir de aquí podemos resolverla como una ecuación normal de segundo grado.

 

formulas cardano

Las fórmulas de Cardano establece una relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes:

      ax²+bx+c=o  (a≠0)
      x₁=-b+√b²-4ac/2a
      x₂=-b-√b2-4ac/2a
La suma de las raíces de la ecuación de segundo grado es:  x₁+x₂ = –b/a
La multiplicación  de las raíces de la ec. de segundo es: x₁·x₂ = c/a

1. Ejemplo: encuentra el polinomio de 2^a grado cuyas raíces son 2 y 3.

    ax²+bx+c=o  (primero dividimos todo entre a)
    x²+(b/a)x+c/a=0  ,  x²-( x₁+x₂)·x+( x₁·x₂)=0   ,   x²-(3+2)x+(3·2)=0 ,  x²-5x+6=(0)
    b/a=s ,  c/a=p    la fórmula es :   x²-s+p=0

Ecuaciones plinómicas (2ª grado)

ax²+bx+c=0    (a≠0)

ax²+bx+c=0   dividimos todo por (1/a)

 x²+(b/a)x+(c/a)=0 esto se resuelve por la técnica de completar cuadradas por medio de la cual sacaremos la fórmula para resolver todas las ecuaciones polinómicas de segundo grado :

Formula ecuación  2^a grado se halla desarrollando: (x+b/2a)² – b²/4a² + c/a una vez la desarrollamos la ecuación nos da la fórmula:

-b± √b2-4ac

2a

 

 

 

Ecuaciones equivalentes

•    Ec. equivalentes son ecuaciones cuya solución es la misma.

  Ejemplo: x=2 es equivalente de 2x=4, ya que la x =2 en las dos ecuaciones.

    Observación: aquí utilizamos el plural cuando en principio deberíamos de decir que una ecuación es equivalente a otra. El plural se debe a que entre ellas hay una relación simétrica o recíproca (el uno con el otro y el otro con el uno). 

• Proposición:

   1- ac=bc  ⇒  a=b   si  c≠0  y si  c=0  tiene infinitas soluciones
  

Resolución: ax+b+c=0

1. a ≠0
2. a=0

    1. Es cierto que : a=b ⇒ ac=bc

    No es cierta : ac=bc  ⇒  a=b
    Como no es cierta hay que poner un contraejemplo:
                   8.0=3.0   8≠3
  
    Es decir no se cumple cuando c=0, la regla que sacamos de esto es:

ac=bc    y   c≠0  ⇒ a=b

    En la demostración se usaría  1/c   porque c≠0

     

     2.  0x+b=0

     Si b=0, tiene infinitas soluciones

     Si b≠0, no tiene solución es ɸ