ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCION

 _ ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCIÓN:

Después de todas las aplicaciones que hemos visto de las derivadas en sus funciones , podemos hacer un estudio mucho más completo de una función ; Para eso necesitaremos:

• Dominio
• Puntos de corte
• Continuidad y asíntotas ( verticales , horizontales , oblícuas )
• Acotación y extremos absolutos
• Monotonía y extremos relativos.
• Convexidad y puntos de inflexión de f ( signo y ceros de f '' )
• Gráfica de la función

CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN

 _ Convexidad de una función , hay 2 tipos:

Convexa o cóncava hacia arriba.
Convexa hacia abajo.

Ejemplo de función cóncava o convexa hacia arriba : x²
Ejemplo de función convexa hacia abajo : - x²


DEFINICIÓN DE CONVEXIDAD : f se dice convexa hacia arriba en su dominio (puede ser también un intervalo y en un punto ) si la región superior determinada por su gráfica es convexa.

Para entender la definición de convexidad hay que saber que es la región plana convexa:

La región plana convexa: se dice que es convexa, cuando el segmento que une a dos puntos cualesquiera de dicha región este dentro de la misma.

PROPIEDAD: cuando f es convexa hacia arriba o hacia abajo las rectas tangentes van a estar por fuera.

_Convexidad de la función afín:
Es convexa hacia arriba y hacia abajo

_Convexidad de la función : y =  x³
No es convexa en su totalidad, es concava en el intervalo de ( 0 , + infinito) y convexa hacia abajo en el intervalo ( - infinito , 0)

Observando la grafica vemos que en el 0 hay un punto de inflexión ya que hay un cambio de convexidad.

PROPOSICIÓN: una función f es convexa hacia arriba , si y solo si, f ' es creciente.
Una función f es convexa hacia abajo , si y solo si, f ' es decreciente.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS .

    _ RELACIÓN ENTRE MONOTONÍA Y EXTREMOS DE F CON EL SIGNO Y CEROS DE F'

Proposición:  para una f cualquiera:

_ f crece en un cierto intervalo <=>  f '>0 en un intervalo

_ f decrece en un cierto intervalo <=> f '<0 en un intervalo

¿Y si f '=0?

Si en un Xo f '(Xo)=0 se pueden dar 2 casos:

 1. el cierto
 2. no es cierto (falso)

_ Que Xo sea un extremo relativo (es falso), contraejemplo: La gráfica de la función X3

_  La otra opción, que el extremo relativo implique que f '(Xo) = 0

EJEMPLO:

Estudia la monotonía de:  f(x) =  x³ + 2x²  – x + 5

Necesitamos el signo y los ceros  para estudiar la monotonía, hallamos los ceros y el signo mediante la resolución de la ecuación y la inecuación.

Ecuación: 3x² + 4x – 1 = 0   _x₁  : - 1.5    _ x₂ :  0.22

Estos son los puntos ( x₁ y x₂ ) en los que la derivada se convierte en cero.

Por medio de la ecuación podemos ver que es una parábola, entonces va a ver puntos en los que va a crecer y puntos en los que va a decrecer.

DERIVADAS ENÉSIMAS

La derivada enésima ( n-ésima ) se produce cuando tenemos una función f(x) y al derivarla obtenemos f '(x) que también es derivable, la derivados y obtenemos f ''(x) si derivamos f''(x) nos da f'''(x)  y así sucesivamente...

_EJEMPLO:  f(x) = 1/x :

Encontramos la derivada n-ésima, mediante el principio de inducción:


y así sucesivamente, por lo que sospechamos (hipótesis por inducción) que es:

 

Sacamos la Hipótesis de inducción al ver el comportamiento característico de la función y lo demostramos por inducción .

INDICE del trabajo: Transmisión del conocimiento: Difusión Científica

        1. PREHISTORIA:

               1.1 _ GRUÑIDOS Y SIGNOS

               1.2 _ EL HABLA ORAL:

                    1.2.1 _ BALBUCEO.

                    1.2.2 _ PRODUCCIÓNES SILÁBICAS.

                    1.2.3 _ REPRODUCCIÓN DE PALABRAS.

                    1.2.4 _ HOLOFRASE.

                    1.2.5 _ ORACIONES SIMPLES.

                    1.2.6 _ ENUNCIADOS EXTENSOS.

                1.3 _ PINTURAS RUPESTRES:

 

        2. EDAD ANTIGUA:

 

                 2.1 _ LA ESCRITURA:

 

                     2.1.1 _ EN GEROGLÍFICOS.

                     2.1.2 _ EN PAPIROS.

                     2.1.3 _  EN PERGAMINOS.

 

                  2.2 _ LAS ANTIGUAS ESCUELAS:

    

                      2.2.1 _ ESCUELA DE MILETO.

                      2.2.3 _ ESCUELA PITAGÓRICA.

                      2.2.4 _ ESCUELA ELEÁTICA.

                      2.2.5 _ ESCUELA PERIPATETICA.

                      2.2.6 _ ESCUELA MEGARICAS.

         3.  EDAD MEDIA:

                   3.1 _ TROVADORES Y JUGLARES

                  

                   3.2 _ AMANUENSES Y ESCRIBANOS

                     

                        3.2.1 _ ESCUELA DE TRADUCTORES DE TOLEDO.

                        3.2.2 _ ESCUELA DE TRADUCTORES REALES.

                                      

                    3.3 _ LAS PRIMERAS UNIVERSIDADES.     

       

                        3.3.1 _ ALUMNADO ADINERADO.

                        3.3.2 _ ESCASEZ DE RECURSOS DE INVESTIGACION.

                        3.3.3 _ POCAS INSTITUCIONES.

             

                     3.4 _ LA IMPRENTA:

                     

                         3.4.1 _ INVENTOR.

                         3.4.2 _ AVANCES Y VENTAJAS.

                         3.4.3 _ AMPLIO ABANICO DE POSIBILIDADES.

      

           4.  EDAD MODERNA:

                  

                     4.1 _ LA MÁQUINA DE ESCRIBIR.

                     4.2 _ PRIMEROS APARATOS ELECTRONICOS.

           5.  SIGLO XXI :

                     5.1 _ LAS  TIC ( Tecnologías de la Información y Comunicación )

                          5.1.1 _ INTERNET.

                          5.1.2 _ ORDENADORES.

                          5.1.3 _ MÓVILES

                          5.1.4 _ TABLETS

                          5.1.5 _  NUEVAS PLATAFORMAS

EXAMEN PARA CASA DE DERIVADAS

_Halla el Dominio, la Continuidad y las Derivadas de estas 10 funciones:

TABLA DE LAS DERIVADAS

DERIVADA (tercera parte)

 _Función Constante:


  _Función Identidad:


  _Función Lineal:

DERIVADAS (segunda parte).

RELACIÓN ENTRE EL DOMINIO DE f Y DE f ':

• Si es derivable: Dom f = Dom f'
• Si no es derivable: Dom f'  ⊂  Dom f

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE:

        _Punto : (X1 , g(X1))
        _Pendiente : g' (X1)

      Formula:  y - g(X1) = g' (X1)·(X-X1)

ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL:

• m·m' = -1   ,  (m diferente de 0 )
• g'(X1)  ,  (también diferente de 0 )

Si la derivada es cero : y = g (X1)

RECTAS TANGENTES HORIZANTES:

PROSICIÓN : Si f es derivable por la izquierda en un punto y f es derivable por la derecha en ese punto y las derivables coinciden, no implica que haya recta tangente ( no haya derivada en ese punto ).

PROPOSICIÓN: f es derivable es Xo si y solo si f es continua en Xo
La recíproca no es cierta

DERIVADAS (primera parte)

TASA DE VARIACIÓN MEDIA:

   TVM ( f, ( Xo, X1 ))
  Amplitud : h = X1-Xo   ;   X1 = Xo + h
  TVM ( f, ( Xo, Xo + h ))

si f' (Xo) pertenece a los reales se dice que f es derivable en Xo

FUNCIÓN DERIVABLE: Cuando es derivable en todos los puntos de su dominio.

DERIVADA LATERAL DE UNA FUNCIÓN f EN Xo:

PROPOSICIÓN: Una función es derivable en Xo si y solo si f es derivable por la izquierda en Xo y f es derivable por la derecha en Xo