APLICACIONES DE LAS DERIVADAS .

    _ RELACIÓN ENTRE MONOTONÍA Y EXTREMOS DE F CON EL SIGNO Y CEROS DE F'

Proposición:  para una f cualquiera:

_ f crece en un cierto intervalo <=>  f '>0 en un intervalo

_ f decrece en un cierto intervalo <=> f '<0 en un intervalo

¿Y si f '=0?

Si en un Xo f '(Xo)=0 se pueden dar 2 casos:

 1. el cierto
 2. no es cierto (falso)

_ Que Xo sea un extremo relativo (es falso), contraejemplo: La gráfica de la función X3

_  La otra opción, que el extremo relativo implique que f '(Xo) = 0

EJEMPLO:

Estudia la monotonía de:  f(x) =  x³ + 2x²  – x + 5

Necesitamos el signo y los ceros  para estudiar la monotonía, hallamos los ceros y el signo mediante la resolución de la ecuación y la inecuación.

Ecuación: 3x² + 4x – 1 = 0   _x₁  : - 1.5    _ x₂ :  0.22

Estos son los puntos ( x₁ y x₂ ) en los que la derivada se convierte en cero.

Por medio de la ecuación podemos ver que es una parábola, entonces va a ver puntos en los que va a crecer y puntos en los que va a decrecer.