COMPARACION Y VALORACION DEL EXAMEN.

COMPARACIÓN Y VALORACION del examen realizado el 9 de junio.

El anterior jueves realizamos el examen de los últimos tres temas vistos, y como siempre , es necesario hacer una reflexión ya que permite aprender más, además de fijarnos en los fallos .

EJERCICIO (1)
En el estudio de la derivabilidad  de la función a) he hecho el planteamiento y aplicado las formulas de las derivadas correctamente, pero en la resolución final se me ha olvidado poner (ln) logaritmo neperiano, el resto del resultado está correcto.
En el partado b) lo he resulto todo de manera correcta y explicando como llego a ese resultado.
Apartado c) he planteado la formula de la derivada de el arco tangente pero no me dio tiempo a resolverlo.

EJERCICIO (2)
Planteé las formulas y procedimientos a seguir para hallar las ecuaciones de las rectas  tangencial y normal, pero a la hora de derivar las funciones me equivoque y no pude resolver el ejercicio.

EJERCICIO (3)
En este ejercicio no sabia como plantear las operaciones para halla el valor de r que maximiza el área del triángulo y después de varios intentos en la hoja en sucio sin resultados coherentes, lo que había trabajado en la hoja en sucio no lo plasmé en la hoja del examen.

EJERCICIO (4)
Elegí el apartado a) para hacer el estudio completo de la función.
El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas horizontales y verticales están bien planteadas y resueltas
En las asíntotas oblicuas el resultado no me coincide, ya que me daba (1 y -1) y en las soluciones mandadas por el profesor da (2 y 0), por lo tanto las A.oblicuas están bien planteadas pero mal resueltas.
En la monotonía y los extremos relativos me coinciden los resultados con los de las hojas de soluciones.
Los puntos de inflexión les tengo correctos pero no resolví la convexidad de la función
En la grafica que planteé no esta completa porque la tabla de valores que use para dibujar la grafica estaba bien, pero al no coincidirme las A.obicuas me daba un resultad/dibujo erróneo.

EJERCICIO (5)
En este ejercicio planteé bien las formulas para hallar el área por medio de integrales y apliqué correctamente la fórmula barrow pero a la hora de resolver la segunda primitiva me confundí y por ese motivo el resultado que hallé del  área es 2.08 en vez de 1.67 que es el resultado correcto.

VALORACION
Después de revisar el examen y comparar mis resultados me he puntuado el examen de esta manera:
1. (2.25 puntos) por la resolución de b) ejercicio correcto (1), el a) con el fallo de no poner logaritmo neperiano (0.75) y en c) ultimo por plantear bien las formulas y el intento de aplicarlas(0.5).
2. (1 puntos) por las formulas y la derivación aunque esta sea incorrecta.
3. (0 puntos)
4. (3 puntos) como supongo que tengo 4.5 de los 6 apartados que había que realizar bien.
5. (1.5 punto) por el planteamiento, aplicación de las integrales y la formula de Barrow con el único fallo de la segunda primitiva.

Por lo que yo creo que mi puntuación va ha estar entorno a el 7.75

REFLEXIÓN:

Después de reflexionar sobre mi examen, me he dado cuanta de que tengo que ser mas ordenada a la hora de hacer los ejercicios para ordenar bien los conceptos y que esto no me lleve a cometer errores en el desarrollo final, también que tengo que controlar mis nervios ya que estos me llevaron en el anterior examen a un punto en el que no podía avanzar más (me bloqueé), además de que cuando no me salga un ejercicio no lo de por abandonado (como en el ejercicio 3 del examen) sino que lo vuelva a intentar por si hay algún fallo o algún aspecto que no halla tenido en cuenta.
Yo creo que siguiendo estas pautas podría haber obtenido un mayor rendimiento y un mejor resultado

Creo que la evaluación realizada del examen se ajusta honestamente a la nota que voy a obtener

Tabla de integrales inmediatas

REGLA DE L'HÔPITAL

                             REGLA DE L'HÔPITAL:

EJEMPLOS:

EJERCICIOS.

             _ ESTUDIO COMPLETO DE LA FUNCIÓN :

                                                                                     GRAFICA DE LA FUNCIÓN                                                       

ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCION

 _ ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCIÓN:

Después de todas las aplicaciones que hemos visto de las derivadas en sus funciones , podemos hacer un estudio mucho más completo de una función ; Para eso necesitaremos:

• Dominio
• Puntos de corte
• Continuidad y asíntotas ( verticales , horizontales , oblícuas )
• Acotación y extremos absolutos
• Monotonía y extremos relativos.
• Convexidad y puntos de inflexión de f ( signo y ceros de f '' )
• Gráfica de la función

CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN

 _ Convexidad de una función , hay 2 tipos:

Convexa o cóncava hacia arriba.
Convexa hacia abajo.

Ejemplo de función cóncava o convexa hacia arriba : x²
Ejemplo de función convexa hacia abajo : - x²


DEFINICIÓN DE CONVEXIDAD : f se dice convexa hacia arriba en su dominio (puede ser también un intervalo y en un punto ) si la región superior determinada por su gráfica es convexa.

Para entender la definición de convexidad hay que saber que es la región plana convexa:

La región plana convexa: se dice que es convexa, cuando el segmento que une a dos puntos cualesquiera de dicha región este dentro de la misma.

PROPIEDAD: cuando f es convexa hacia arriba o hacia abajo las rectas tangentes van a estar por fuera.

_Convexidad de la función afín:
Es convexa hacia arriba y hacia abajo

_Convexidad de la función : y =  x³
No es convexa en su totalidad, es concava en el intervalo de ( 0 , + infinito) y convexa hacia abajo en el intervalo ( - infinito , 0)

Observando la grafica vemos que en el 0 hay un punto de inflexión ya que hay un cambio de convexidad.

PROPOSICIÓN: una función f es convexa hacia arriba , si y solo si, f ' es creciente.
Una función f es convexa hacia abajo , si y solo si, f ' es decreciente.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS .

    _ RELACIÓN ENTRE MONOTONÍA Y EXTREMOS DE F CON EL SIGNO Y CEROS DE F'

Proposición:  para una f cualquiera:

_ f crece en un cierto intervalo <=>  f '>0 en un intervalo

_ f decrece en un cierto intervalo <=> f '<0 en un intervalo

¿Y si f '=0?

Si en un Xo f '(Xo)=0 se pueden dar 2 casos:

 1. el cierto
 2. no es cierto (falso)

_ Que Xo sea un extremo relativo (es falso), contraejemplo: La gráfica de la función X3

_  La otra opción, que el extremo relativo implique que f '(Xo) = 0

EJEMPLO:

Estudia la monotonía de:  f(x) =  x³ + 2x²  – x + 5

Necesitamos el signo y los ceros  para estudiar la monotonía, hallamos los ceros y el signo mediante la resolución de la ecuación y la inecuación.

Ecuación: 3x² + 4x – 1 = 0   _x₁  : - 1.5    _ x₂ :  0.22

Estos son los puntos ( x₁ y x₂ ) en los que la derivada se convierte en cero.

Por medio de la ecuación podemos ver que es una parábola, entonces va a ver puntos en los que va a crecer y puntos en los que va a decrecer.

DERIVADAS ENÉSIMAS

La derivada enésima ( n-ésima ) se produce cuando tenemos una función f(x) y al derivarla obtenemos f '(x) que también es derivable, la derivados y obtenemos f ''(x) si derivamos f''(x) nos da f'''(x)  y así sucesivamente...

_EJEMPLO:  f(x) = 1/x :

Encontramos la derivada n-ésima, mediante el principio de inducción:


y así sucesivamente, por lo que sospechamos (hipótesis por inducción) que es:

 

Sacamos la Hipótesis de inducción al ver el comportamiento característico de la función y lo demostramos por inducción .

INDICE del trabajo: Transmisión del conocimiento: Difusión Científica

        1. PREHISTORIA:

               1.1 _ GRUÑIDOS Y SIGNOS

               1.2 _ EL HABLA ORAL:

                    1.2.1 _ BALBUCEO.

                    1.2.2 _ PRODUCCIÓNES SILÁBICAS.

                    1.2.3 _ REPRODUCCIÓN DE PALABRAS.

                    1.2.4 _ HOLOFRASE.

                    1.2.5 _ ORACIONES SIMPLES.

                    1.2.6 _ ENUNCIADOS EXTENSOS.

                1.3 _ PINTURAS RUPESTRES:

 

        2. EDAD ANTIGUA:

 

                 2.1 _ LA ESCRITURA:

 

                     2.1.1 _ EN GEROGLÍFICOS.

                     2.1.2 _ EN PAPIROS.

                     2.1.3 _  EN PERGAMINOS.

 

                  2.2 _ LAS ANTIGUAS ESCUELAS:

    

                      2.2.1 _ ESCUELA DE MILETO.

                      2.2.3 _ ESCUELA PITAGÓRICA.

                      2.2.4 _ ESCUELA ELEÁTICA.

                      2.2.5 _ ESCUELA PERIPATETICA.

                      2.2.6 _ ESCUELA MEGARICAS.

         3.  EDAD MEDIA:

                   3.1 _ TROVADORES Y JUGLARES

                  

                   3.2 _ AMANUENSES Y ESCRIBANOS

                     

                        3.2.1 _ ESCUELA DE TRADUCTORES DE TOLEDO.

                        3.2.2 _ ESCUELA DE TRADUCTORES REALES.

                                      

                    3.3 _ LAS PRIMERAS UNIVERSIDADES.     

       

                        3.3.1 _ ALUMNADO ADINERADO.

                        3.3.2 _ ESCASEZ DE RECURSOS DE INVESTIGACION.

                        3.3.3 _ POCAS INSTITUCIONES.

             

                     3.4 _ LA IMPRENTA:

                     

                         3.4.1 _ INVENTOR.

                         3.4.2 _ AVANCES Y VENTAJAS.

                         3.4.3 _ AMPLIO ABANICO DE POSIBILIDADES.

      

           4.  EDAD MODERNA:

                  

                     4.1 _ LA MÁQUINA DE ESCRIBIR.

                     4.2 _ PRIMEROS APARATOS ELECTRONICOS.

           5.  SIGLO XXI :

                     5.1 _ LAS  TIC ( Tecnologías de la Información y Comunicación )

                          5.1.1 _ INTERNET.

                          5.1.2 _ ORDENADORES.

                          5.1.3 _ MÓVILES

                          5.1.4 _ TABLETS

                          5.1.5 _  NUEVAS PLATAFORMAS

EXAMEN PARA CASA DE DERIVADAS

_Halla el Dominio, la Continuidad y las Derivadas de estas 10 funciones:

TABLA DE LAS DERIVADAS

DERIVADA (tercera parte)

 _Función Constante:


  _Función Identidad:


  _Función Lineal:

DERIVADAS (segunda parte).

RELACIÓN ENTRE EL DOMINIO DE f Y DE f ':

• Si es derivable: Dom f = Dom f'
• Si no es derivable: Dom f'  ⊂  Dom f

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE:

        _Punto : (X1 , g(X1))
        _Pendiente : g' (X1)

      Formula:  y - g(X1) = g' (X1)·(X-X1)

ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL:

• m·m' = -1   ,  (m diferente de 0 )
• g'(X1)  ,  (también diferente de 0 )

Si la derivada es cero : y = g (X1)

RECTAS TANGENTES HORIZANTES:

PROSICIÓN : Si f es derivable por la izquierda en un punto y f es derivable por la derecha en ese punto y las derivables coinciden, no implica que haya recta tangente ( no haya derivada en ese punto ).

PROPOSICIÓN: f es derivable es Xo si y solo si f es continua en Xo
La recíproca no es cierta

DERIVADAS (primera parte)

TASA DE VARIACIÓN MEDIA:

   TVM ( f, ( Xo, X1 ))
  Amplitud : h = X1-Xo   ;   X1 = Xo + h
  TVM ( f, ( Xo, Xo + h ))

si f' (Xo) pertenece a los reales se dice que f es derivable en Xo

FUNCIÓN DERIVABLE: Cuando es derivable en todos los puntos de su dominio.

DERIVADA LATERAL DE UNA FUNCIÓN f EN Xo:

PROPOSICIÓN: Una función es derivable en Xo si y solo si f es derivable por la izquierda en Xo y f es derivable por la derecha en Xo

Reflexión examen de mates por grupos

Aunque llega bastante tarde esta reflexión, nosotros pensamos que llega en un buen momento, tras haber comentado, observado y haber intercambiado opiniones de como nos había salido el examen, también hemos hablado de que poner en esta reflexión, por que hay que recordar que es una reflexión grupal.

Nosotros, hemos trabajado conjuntamente en el examen, repartiendo los ejercicios del examen después de leerlo claro.
el examen lo hemos practicado conjuntamente, repartiendo y haciendo los ejercicios de los dos exámenes para casa, cierto es que al principio nos costo un poco coordinarnos, pero al final conseguimos reagruparnos y entender las aspiraciones de cada uno en la resolución de los dos exámenes. utilizamos las herramientas de wiris y geogebra, para practicar en el examen, pero como al final no había que hacerlo obligatoriamente con estas herramientas, las utilizamos como apoyo para solución de algunos problemas, ya que a nuestro entender no todos eran necesarios resolverlos o si quiera comprobarlos con cualquiera de estas herramientas. Tenemos que admitir, que no nos pusimos nerviosos en ningún momento al hacer el examen, y aunque que parezca hacer la pelota, por lo menos en nuestro grupo nos lo pasamos bien haciendo el examen, por que en algunas ocasiones veíamos claro un resultado bueno y lo disfrutábamos. Además de todo esto que he estado contando, hemos visto la solución del examen y nos alegra poder decir que no nos salio un mal examen, con esto no quiero decir que sacáramos un diez, por que estaría mintiendo, si no que tuvimos un examen aprobado, ya que en parte los resultados coincidían, claramente tuvimos problemas con algún ejercicio, pero de todas maneras lo intentamos resolver para poder sumar la mayor puntuación. Para acabar, me gustaría transmitir en nombre del grupo que este examen hubiera sido una nota más, y no se hubiera quedado en una simple practica, ya que hemos sacado una valoración muy positiva del mismo. De todas maneras, creemos que vamos más preparados para el próximo examen que tengamos que hacer.

Un saludo de todo el grupo: Silvia Molina, Darío García y Mario Pérez

Infinitos e Infinitesimos.

 
        _INFINITO:


         _INFINITÉSIMO:


     
    _COMPARACIÓN DE INFINITOS:



_Proposición: en el calculo de un producto o un cociente (solo estas dos operaciones) si un factor es infinito puedo sustituirlo por un infinito equivalente.

         _COMPARACIÓN DE INFINITESIMOS:

_Proposición: en el calculo de un producto o un cociente (solo estas dos operaciones) si un factor es infinitésimo puedo sustituirlo por un infinitésimo equivalente.

Asintotas.

_VERTICALES: son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas.
Cuando f tiene una discontinuidad de salto infinito en Xo, la asíntota vertical de f es X=Xo. Ejemplo:

_HORIZANTALES: las asíntotas horizontales don rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente.


EJEMPLOS:

2.ejem: 
            

_OBLICUAS: las asíntotas oblicuas son rectas de la ecuación : y =mx+n . Solo las habrá cuando no haya asíntotas horizontales:


EJEMPLO:

.

Continuidad lateral en un punto.

CONTINUIDAD LATERAL EN UN PUNTO :

f se dice que es continua por la izquierda en Xo si existe el límite por la izquierda  (por lo tanto Xo es el dominio)
 f se dice que es continua por la derecha en Xo si existe el límite por la derecha (dominio es Xo)

PROPOSICIÓN: una función es continua en Xo si y solo si es continua por la izquierda en Xo y por la derecha en Xo




FUNCION CONTINUA EN UN INTERVALO:

Una función es continua si es continua en todos los puntos del intervalo.
f se dice continua en el intervalo (a,b) si es continua en todos los puntos del intervalo.

Límites funcinales laterales.

                                                                  _  Los limites laterales les hay de izquierda y d derecha:
  

EJEMPLO: estudia su continuidad en 0:

No hay limite global. Si tenemos dos límites laterales los cuales  son reales y distintos, f tiene una discontinuidad de salto finito.







IMPORTANTE:

Límites de funciones elementales.

                                                            1. Función constante:

                                                             2.Función identidad:

              3.Continuidad de una función en un punto:  f se dice que es continua si cumple estas 3 condiciones:

             

EJEMPLO: ¿es f continua en 0?

   No porque la imagen y el límite no son iguales (ya que no se cumple la tercera condición). Por eso decimos que f tiene una discontinuidad evitable en x0.

EJEMPLO: f(x) = x/x

   Esta función da siempre 1 excepto en 0 que no existe.

   Es  decir no es continua en 0

   Por lo que f tiene una discontinuidad evitable

Limites Funcionales.

                                                                   1. Definición topológica de un limite funcional:

                                                                    2. Definición operativa de un limite funcional:

Ejercicios preparación examen

CARACTERISTICAS DE UN FUNCION (parte 2)

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

La tasa de variación de una función es el aumento o disminución que experimenta una función al pasar la variable independiente de un valor a otro.

Tasa de variación media indica la variación relativa de la función respecto a la variable independiente: