Formula deHerón:

_S=√(p(p-a)(p-b)(p-c) )
Siendo p el semiperímetro:  p =a+b+c/2

Area de un triángulo:

_Sabemos que el área de un triángulo es:  S=1/2 · base · alturaaltura

 

 

_Utilizando la expresión del valor del seno del ángulo A en el triángulo coloreado de la foto, obtenemos:

sen A=h/b

_Llevando el valor de la altura h, a la fórmula del área de un triángulo:

                                    S=1/2 · base · altura = 1/2 · c · b · senA

_Por este procedimiento llegamos a obtener las siguientes expresiones para poder calcular el área de un triángulo:

                     S = 1/2 · c · b · senA;   S=1/2 · a · b · senC;   S=1/2 · a · c · senB

Resolución de triángulos cualesquiera:

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA:

• Resolver un triángulo cualquiera es determinar en él todos sus elementos desconocidos y tenemos que tener en cuenta las siguientes relaciones entra sus elementos:

Ø  La suma de sus ángulos es siempre 180º.
Ø  El teorema de los senos.
Ø  El teorema del coseno

• Un triángulo cualquiera queda determinado cuando conocemos al menos tres de ssus elementos, excepto en el caso de sus tres ángulos.

NOTA IMPORTANTE:
    Para que tres segmentos puedan ser lados de un triángulo deben cumplirse que:
La medida de cada uno de los segmentos sea menor que la suma de las medidas de los otros dos y mayor que su diferencia.

 

Teorema del seno

TEOREMA DE LOS SENOS:

En el triángulo ABC (de la foto), hemos trazado su altura h_c, desde el vértice C, hasta el punto H, donde divide a la base, AB en dos, formándose de este modo dos triángulos rectángulos AHC y BHC; Usando las definición de seno, que no dice que el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo, es cateo opuesto cateto opuesto dividido por hipotenusa, tendremos:

                                                                                            
                                                 senA = h_c / b ; à h_c = b · senA
                                                 senB = h_c / a ; à h_c = a · senB
    
  Igualando las expresiones tendremos que:  b · senA = a · senB

a  /  senA   =   b / senB

  Si trazamos la altura desde el vértice A obtendremos que c / senC = b / senB; por lo tanto:

 a  /  senA   =   b / senB =  c / senC

Teniendo en cuenta el razonamiento anterior podemos enunciar el teorema de los senos que dice:

TEOREMA DE LOS SENOS: En un triángulo cualquiera, los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

Teorema del coseno

TEOREMA DEL COSENO:

En el triángulo ABC (de la foto ) hemos trazado su altura h_c, desde el vértice C, hasta el punto H, donde divide a la base, AB en dos partes de longitudes que vamos a llamar p y m.; formándose de este modo dos triángulos rectángulos AHC y BHC; utilizando por tanto el teorema de Pitágoras podemos afirmar que:

        
            a² = m² + h_c² = (c – p)² + (b² – p²) = c² + p² -2cp + b² – p² = c² + b² – 2cp;

                                                   a² = c² + b² -2cb·cosA

NOTA:
c = m + p;       m = c – p;       m² = (c – p)²
b² = h_c² + p²; h_c² = b² – p²
cosA = p / b;   p = b·cosA

Del mismo modo podemos obtener las mismas expresiones para los dos vértices restantes, con lo que podemos afirmar que:

TEOREMA DEL COSENO: En un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.

                                                       a² = c² + b² -2cb·cosA
                                                       b² = a² + c² -2ac·cosB

                                                       c² = a² + b² -2ab·cosC

 

Observación importante: Este teorema lo utilizaremos en aquellos problemas en los que conocemos más lados que ángulos, en los otros casos utilizaremos el teorema del seno.

 

TABLA TRIGONOMETRIA

relaciones trigonometricas

   Relaciones trigonométricas:

1. Seno α · cosecante α=1
2. Coseno α · secante α=1
3. Tangente α · cotangente α =1

razones trigonométricas de un ángulo agudo

·        Razones trigonométricas:

1. El seno del ángulo α es la razón que existe entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa
2. El coseno del ángulo α es la razón que existe entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa
3. La tangente del ángulo α es la razón que existe entre el seno y el coseno, o dicho de otra manera entre el cateto opuesto y el contiguo.

·        A partir de estas tres razones, definimos otras tres inversas a ellas:

1. Cosecante del ángulo α es la razón que existe entre hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo o 1/seno α
2. Secante del ángulo α es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto contiguo al ángulo o 1/coseno α
3. Cotangente del ángulo α es la razón que existe entre el cateto contiguo y el cateto opuesto o 1/tangente α que es lo mismo que: cosecante α/secante α