ternas pitagoricas

Una terna pitagórica son tres enteros positivos a, b, c que cumplen que a² + b² = c². El nombre deriva del teorema de Pitágoras el cual dice que en todo triangulo rectángulo, se cumple que: x² + y² = z² (siendo x , y las longitudes de sus catetos y z la hipotenusa).

• Ejemplos de ternas pitagóricas:

( 3 , 4 , 5 )	( 5, 12, 13)	( 7, 24, 25)	( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

 

ecuacion diofántica

Se llama ecuación diofántica, a cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes pertenecen al conjunto de los números enteros, y las soluciones son números enteros: ecuación diofántica lineal:

• ax+bx=c     ax+bx-c=0
• x²+y²=z²      x²+y²-z²=0 

 

igualdedes notables

Igualdades notables o productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas como las siguientes:

• (m+n)²=m²+n²+2·m·n
•  (m-n)²=m²+n²-2·m·n

 

fotos de los dias que nos hemos reunido para estudiar el examen

Ejercicios 16 y 41 del examen

16/ Encuentra un polinomio cuyas raíces sean -1 y 5 y cuyo término independiente sea 10. ¿Tiene más raíces?

41/ Resuelve la ecuación 5·4^x-1 + 4 = 5·2^x+1 + 2^x-1

Ejercicios preparación del examen

Aquí les dejo todos los ejercicios que hemos realizado los días que nos reunimos los miembros del grupo 5 :

El pasado 20/11/2015  mis compañeros del grupo 5 y yo practicamos haciendo ejercicios de manera conjunta y además estuvimos mirando los ejercicios que tenemos que presentar con el examen, por si nos surgían dudas.

El pasado 18/11/2015  mis compañeros del grupo 5 y yo practicamos haciendo ejercicios de manera conjunta y también resolviendo las dudas que nos iban surgiendo además de enseñar a uno de nuestros compañeros el método de gaus
Aquí os dejo los ejercicios que hicimos los 3 miembro del grupo que fuimos.

ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son aquellas con la fórmula: ax⁴+bx² +c=0
Se resuelve transformando, ejemplo :x⁴-13x²+36=0
        | x²=t   ,     la ecuación quedaría : t²+t+c=0
        |   x⁴=t²            t²-13t+36=0

x²+13x+36=0 al quedar una ecuación de segundo grado se resuelve por la fórmula de segundo grado y queda de resultado:

            x₁=9              x²=9  ,  x=±3
            x₂=4              x²=4   ,  x=±2

transformaciones elementales sobre un sistema de ecuaciones

Las transformaciones elementales sobre un sistema de ecuaciones, son 5:       

1. Intercambiar 2 ecuaciones, E_i ↔ E_j  pero  E_i ≠ E_j
2. Sustituir una ecuación por ella misma multiplicada por un número real ≠ 0
3. Sustituir una ecuación  por ella misma (+) un escalar por otra ecuación distinta
4. Aplicar el método de sustitución
5. Eliminar una ecuación que tenga todo coeficientes 0

  _Ejemplos de la aplicación de las 5 transformaciones elementales:

 5. 0x+0y=0,  la solución de esta ecuación son todas las parejas ordenadas de  números reales (R·R=R²).Ejemplo:  (las dos | representan un corchete):

           X+2y=5   |    la solución de esta ecuación es S
          0x+0y=0   |   su solución ( R²)

Como 0x+0y=0 no aporta nada ya que en (S∩R²=S) la intersección es S , se quita  0x+0y=0 y solo queda x+2y=5

Ya que (R·R=R²) , (R·R·R=R³) , (R·R·R·R=R⁴)… llegamos a la conclusión de que Rⁿ es el conjunto de enetuplas

 Los ejemplos del 1,2,3y4 os les dejo en esta imagen:

sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que tienen más de una ecuación y también tienen que tener más de una incognita ; aunque una ecuación se puede considerar como un sistema de una única solucion y una unica ecuación . Ejem:

•             este es un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas

                                                     a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…a₁x+a₀  

•             esta ecuación es un sistema de una única solución y una ecuación             

Práctica de examen

El sábado 14/11/2015 mis compañeros del grupo 5 y yo practicamos haciendo ejercicios de manera conjunta y también resolviendo las dudas que nos iban surgiendo,  les deja algunos de los ejercicios que realizamos de manera correcta :

ecuaciones irracionales

  Una ecuación irracional es cuando tiene la incógnita bajo el signo radical (debajo   de una raíz). Ejemplo: √(x²-1) +1=0
  
  _ Para resolver las ec. irracionales usamos el siguiente procedimiento :

1. Se aísla un radical en un miembro, pasando los restantes términos al otro miembro (al otro lado del igual)
2. Se eleva al cuadrado los dos miembros de la ecuación tantas veces como sea necesario para eliminar el radical (raíz)
3. Se resuelve la ecuación resultante y se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas verifican la ecuación con radicales, se tiene que comprobar ya que al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones extrañas

Ec.polinómicas de grado mayor que dos

Pueden ser ecuaciones incompletas las cuales son a las que les falta algún término de la ecuación como es el caso de: x³=27 ,esta ecuación en su forma canónica es : x³-27=0y se resolveria; x³=27 , x =³√27  , x=3

Otra ecuación incompleta: x³+4x²+3x=0 , (sacamos factor común a la x)
x(x²+4x+3)=0   ← esto es una ecuación factorizada , a partir de aquí podemos resolverla como una ecuación normal de segundo grado.

 

formulas cardano

Las fórmulas de Cardano establece una relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes:

      ax²+bx+c=o  (a≠0)
      x₁=-b+√b²-4ac/2a
      x₂=-b-√b2-4ac/2a
La suma de las raíces de la ecuación de segundo grado es:  x₁+x₂ = –b/a
La multiplicación  de las raíces de la ec. de segundo es: x₁·x₂ = c/a

1. Ejemplo: encuentra el polinomio de 2^a grado cuyas raíces son 2 y 3.

    ax²+bx+c=o  (primero dividimos todo entre a)
    x²+(b/a)x+c/a=0  ,  x²-( x₁+x₂)·x+( x₁·x₂)=0   ,   x²-(3+2)x+(3·2)=0 ,  x²-5x+6=(0)
    b/a=s ,  c/a=p    la fórmula es :   x²-s+p=0

Ecuaciones plinómicas (2ª grado)

ax²+bx+c=0    (a≠0)

ax²+bx+c=0   dividimos todo por (1/a)

 x²+(b/a)x+(c/a)=0 esto se resuelve por la técnica de completar cuadradas por medio de la cual sacaremos la fórmula para resolver todas las ecuaciones polinómicas de segundo grado :

Formula ecuación  2^a grado se halla desarrollando: (x+b/2a)² – b²/4a² + c/a una vez la desarrollamos la ecuación nos da la fórmula:

-b± √b2-4ac

2a

 

 

 

Ecuaciones equivalentes

•    Ec. equivalentes son ecuaciones cuya solución es la misma.

  Ejemplo: x=2 es equivalente de 2x=4, ya que la x =2 en las dos ecuaciones.

    Observación: aquí utilizamos el plural cuando en principio deberíamos de decir que una ecuación es equivalente a otra. El plural se debe a que entre ellas hay una relación simétrica o recíproca (el uno con el otro y el otro con el uno). 

• Proposición:

   1- ac=bc  ⇒  a=b   si  c≠0  y si  c=0  tiene infinitas soluciones
  

Resolución: ax+b+c=0

1. a ≠0
2. a=0

    1. Es cierto que : a=b ⇒ ac=bc

    No es cierta : ac=bc  ⇒  a=b
    Como no es cierta hay que poner un contraejemplo:
                   8.0=3.0   8≠3
  
    Es decir no se cumple cuando c=0, la regla que sacamos de esto es:

ac=bc    y   c≠0  ⇒ a=b

    En la demostración se usaría  1/c   porque c≠0

     

     2.  0x+b=0

     Si b=0, tiene infinitas soluciones

     Si b≠0, no tiene solución es ɸ

ecuaciones (en función del grado de p(x)

• En función del grado de p(x): Ecuación de primer grado, ejemplo :

                2x+6=0
                2x=-6
                x=-6/2,   x=-3

        Otro ejemplo es :

               3x+4+x-7=0
               3x+x=74
               4x=3,      x=3/4

Ecuaciones polinómicas

 Definición: una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números o coeficientes.

·        Su forma canónica es p(x) =0

·        En donde p(x) es una expresión algebraica en este caso un polinomio

·        p(x) es primer miembro y 0 es el segundo miembro.

 

-Proposiciones sobre las igualdades:

1.      a=b ⇔  a+c=b+c

2.      a=b  ⇒ ac=bc

-Ejemplo:

      (X+5/2)-x/3=x-(2x+1/2)

Lo primero que hay que hacer es multiplicar todo por 6 que es el m.c.m y así aplicando la segunda proposición quitaremos los divisores.

       3x+15-2x=6x-6x+3;  x-15=-3

Cuando ya tenemos x-15=-3 hay que sumar a los dos lados del igual (-15) aplicando así la primera proposición y así hallar el resultado de esta ecuación

        X+15-15=-3-15; x=-18

       P(x)=0 asique x+18=0

frac. algebraicas (descomposicion en factores simples)

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos, es decir hay que hacer el m.c.m de los divisores

fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:

P(x)/Q(x) si Q(x)≠0

P(x) es el numerador y Q(x) es el denominador

Las frac. algebraicas tienen un comportamiento similar a las frac. numéricas.

 Dos fracciones algebraicas

P(x) / Q(x) y R(x) / S(x)

si son equivalentes lo representamos como:
P(x) / Q(x) = R(x) / S(x)
si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

Paolo Ruffini (datos curiosos)

Nació el 22 de septiembre de 1765 en Valentano, y murió el 10 de mayo de 1822 en Módena, actual Italia. Paolo entró en la universidad de Módena en 1783 para estudiar matemáticas, medicina, filosofía y literatura.
Como su familia gobernaba Módena tuvo que dejar la universidad para convertirse en concejal años mas tarde Paolo volvio a la universidad para ejercer de profesor.
Paolo Ruffini es conocido como el creador del llamado método de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio x-a. Sin embargo, no fue ésta su mayor contribución al desarrollo de la matemática. Hacia 1805 elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y superiores, aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas.ç
En este periodo Paolo se vio envuelto en trastornos politicos ya que los franceses habian ocupado Italia produciendo inestabilidad por lo que esto influyo a Paolo.

factorizar polinomios (Ruffini)

Paolo Ruffini fue un matemático, profesor y médico italiano y hoy vamos a factorizar polinomios usando como decimos vulgarmente Ruffini:

·         La regla de Ruffini establece un método para la división del polinomio:

     P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…a₁x+a₀  

·         El polinomio se divide entre (x-a)

     a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…a₁x+a₀ : (x-a)

·         Y el resto de la división debe de ser 0

     R(x)=0

Para resolver por Ruffini se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x) ordenados y sin omitir términos nulos, Se escribe la raíz (r) del lado izquierdo y se escribe el primer coeficiente en el renglón inferior (a_n):

Como por ejemplo este  polinomio de quinto grado : P(x) = x⁵+x⁴-5x³ -5x²+4x+4

--Posibles raíces:
Término independiente:  4 = 2²
           Divisores: ±1 ±2 ±4
Y divisores de a_n que en este caso es 1
           Divisores: ±1

 

             | 1     1    –5    –5     4      4

               |

    –1    |      –1     0      5     0    –4

               |

              |

    ---------|----------------------------------------------------------------------

              | 1      0    –5     0     4     0   1ª raíz –1(x+1)

               |

    –2    |       –2      4     2    –4

               | 

             |

  ---------|-------------------------------------------------------------------------

             |  1    –2    –1     2     0     2ª raíz –2 (x+2)

               |

             |

               |

       1    |          1    –1    –2

               |

             |

    --------|---------------------------------------------------------------------------

             |  1    –1   –2      0       3ª raíz 1 (x-1)

              |

             |

              |

      2     |          2      2

     -------|-------------------------------------------------------------------------------

             |  1      1      0           4ª raíz 2 (x-2)

    

                        La ultima raíz -1 (x+1)

 

 

Se dividen los divisores del termino independiente entre los divisores de a_n  y te dan las posibles raíces del polinomio en este caso como es ±1 las raíces son iguales a los divisores del termino independiente

Haciendo ruffini llegamos a la conclusion de que el polinomio P(x) = x⁵+x⁴-5x³ -5x²+4x+4 es:

       P(x) = x⁵+x⁴-5x³ -5x²+4x+4 es (x+1)(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)