Lugares geométricos. Cónicas.

Para los griegos la regla y el compás eran los instrumentos que conducían a la belleza y a la armonía. La regla es la línea recta, el camino a seguir; el compás, el instrumento que permite dibujar la circunferencia, figura cuya perfecta simetría y equilibrio caracterizan a los elementos que la contienen.
la búsqueda de la solución de los tres problemas clásicos, entre otros, condujo a los griegos al descubrimiento de las figuras cónicas, aquellas que surgen al seccionar un cono mediante un plano, y que aparecen encerrar buena parte de los enigmas del universo.
Los arquitectos de hoy en día utilizan las cónicas en el trazado de puentes, arcos, vidrieras, etc ...

Distancia entre dos rectas.

Veamos los tres casos posibles de distancia entre dos rectas.

• Si las rectas r y s son coincidentes, la distancia entre ellas es cero.
      Si r y s coincidentes ⇒  d(r,s) = 0
• Si las rectas r y s son secantes, la distancia entre ellas es cero
      Si r y s secantes ⇒  d(r,s) = 0
• Si las rectas son paralelas, basta con tomar un punto en una de ellas y hallar la distancia de ese  punto a la otra recta.
       Si r y s paralelas ⇒  d(r,s) = d(P,r) = d(Q,s)  con P ∊ s y Q ∊ r

Posiciones relativas de dos rectas en el plano.

Dos rectas en el plano pueden ser :

• Secantes: si se cortan en un punto
• Paralelas: si no tienen ningún punto de corte.
• Coincidentes: si tienen todos los puntos comunes.

Para estudiar la posición relativa de dos rectas, basta con resolver el sistema formado por sus ecuaciones. Si obtenemos una única solución, las rectas son secantes; si no obtenemos soluciones, las rectas son paralelas; y si existen infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.

Rectas  secantes: si A'B - AB' no es igual a  0, la ecuación tiene solución única y las rectas son secantes.

Rectas paralelas: Si A'B - AB' = 0 y AC' - A'C no es igual a 0, la ecuación no tiene soluciones y, por lo tanto, las rectas son paralelas.

Rectas coincidentes: Si A'B - AB' = 0  y  AC' - A'C = 0, la ecuación tiene infinitas soluciones y, por lo tanto, las rectas son coincidentes.
 

EXAMEN PARA CASA.

Los ejercicios que voy a subir al blog son los ejercicios que nuestro profesor nos mando para realizar en casa.

Ecuación explícita de la recta.

Se obtiene de la ecuación punto pendiente, sin más que despejar y :

Tomamos b = -mx + y , obtenemos la ecuación explícita la cual es :

Ecuación punto pendiente.

La ecuación punto pendiente viene dada en función de un punto P₀ y de la pendiente. Como demuestra este esquema:

Es decir la ecuación punto pendiente de la recta r que pasa por un punto fijo P₀(x_{0 ,} y₀ ) y tiene por pendiente m viene dada por :

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica de su inclinación:

Rectas paralelas al eje de abscisas.

• Rectas paralelas al eje de abscisas. Tienen como vector director v(a, 0), por lo que las ecuaciones paramétricas son :

• Las ecuaciones de estas rectas vienen dadas por:

Rectas paralelas al eje de ordenadas.

• Rectas paralelas al eje de ordenadas. Tienen como vector director v(0, b), por lo que las ecuaciones paramétricas son:

• Las ecuaciones de estas rectas vienen dadas por:

                               

Ecuación general de la recta.

Obtenemos la ecuación general de la recta a partir de la ecuación continua :



Tomando A = b, B = -a, C = ay_{0 -} bx₀ , obtenemos que la ecuación general de la recta es de forma:

Ecuación continua de la recta.

Obtenemos la ecuación continua a partir de las ecuaciones paramétricas:

Despejando la t en ambas ecuaciones, siempre que a y b sean distintos de 0, obtenemos.

                      

La ecuación continua de la recta r que pasa por un punto fijo P₀(x₀,y₀) y que tiene como vector director v(a,b) con a y b distintos de 0, viene dada por:

Ecuacioenes paramétricas de la recta.

Obtenemos las ecuaciones paramétricas a partir de la ecuación vectorial expresada en coordenadas:

          (x,y) = (x₀,y₀) + t·(a,b) = (x₀,y₀) + (ta,tb) = (x₀ + ta, y₀ + tb).

Luego podemos decir que la ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por un punto fijo P₀(x₀,y₀) y que tiene como vector director  v(a,b), vienen dadas por:

Determinación de puntos en una recta.

Para determinar puntos de una recta de ecuaciones:

 

Basta con dar valores al parámetro t. Cualquier punto de la recta tiene por coordenadas:                           
               
 

Ecuación vectorial de la recta.

En el dibujo de abajo hemos representado una recta r, en un sistema de referencia {0,i,j}, que pasa por un punto P₀(x_{0 ,} y₀ ) fijo y lleva la dirección del vector v de coordenadas (a,b).

                                                          

Sea P(x,y) un punto cualquiera de la recta. Existe un número real t que verifica P0P = tv
Obtenemos la ecuación vectorial de una recta r que pasa por un punto fijo P0(x₀,y₀) tiene como vector director v(a,b) viene dada por:

Vector unitario y vectores ortonormales

Vector unitario. Un vector libre es unitario cuando su módulo es la unidad.

            v̅ es unitario ⇔ | v̅| = 1

Vectores ortonomales. Dos vectores libres diferentes del vector nulo, son ortonormales si son ortogonales  y unitarios.

           v̅, ῶ ortonormales ⇔ v̅ ⋅ ῶ = 0 / | v̅| = |ῶ| = 1

Producto escalar de vectores libres.

El producto escalar de dos vectores libres ṽ y ῶ se define de la siguiente forma:

 v̅ ⋅ ῶ =  |v̅| ⋅ |ῶ| ⋅ cos (v̅ ⋅ ῶ)

Las propiedades más importantes del producto escalar, son:

1. 1.    El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo, por lo que es un número positivo o nulo:

                v̅ ⋅ v̅ = |v̅|² ≥ 0

1. 2.       El producto escalar es conmutativo: 

v̅ ⋅ ῶ = ῶ ⋅ v̅ 

1. 3.       El producto escalar es distributivo respecto de la suma vectorial. 

v̅ ⋅ (u̅ + ῶ) = v̅ ⋅ u̅ + v̅ ⋅ ῶ 

1. 4.       Esta propiedad hace referencia al producto de un número real por un vector:

             (t ⋅ v̅) ⋅ ῶ = v̅ ⋅ (t ⋅ ῶ) = t ⋅ (v̅ ⋅ ῶ); t ∈ R

1. 5.       Perpendicularidad u ortogonalidad de vectores libres. La condición necesaria y suficiente para que dos vectores libres sean perpendiculares u ortogonales, siendo estos diferentes del vector nulo Ō= (0,0), es que su producto escalar sea 0.

                    v̅ ⏊ ῶ ⇔ v̅ ⋅ ῶ = 0

                    v̅ ≠ Ō           ῶ ≠ Ō

Coordenadas del punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) son:

                     x = x₁ + x₂ / 2                                     y = y₁ + y₂ / 2

Operaciones con vectores libres

Suma de vectores libres. La suma de los vectores libres v̅ = (a, b) y ῶ = (a’, b’) es el vector libre:

v̅ + ῶ = (a + a’, b + b’) 

Producto de un número real por un vector. El producto de un número real t por un vector libre v̅ = (a,b) es el vector libre:

                                                                t ⋅ v̅ = tv̅ = (ta, tb)

Puede usarse la notación t ⋅ v̅ o tv̅

Estas operaciones tienen la siguiente interpretación geométrica:

Si v̅≠ 0, pueden ocurrir tres casos:

-          Si t = 0 à t ⋅ v̅ = ō
-          Si t > 0 à t ⋅ v̅ es un vector con la misma dirección que v̅, con el mismo sentido y | t ⋅ v̅| = t | v̅|.
-          Si t < 0 à t ⋅ v̅ es un vector con la misma dirección que v̅, de sentido contrario y | t ⋅ v̅| = |t| ⋅ | v̅|.

Vector Libre

Vector libre: Sean los vectores A₁ B_1, A₂ B₂, …, A₈ B_8, con la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo. Estos vectores se llaman equipolentes. Los vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas.

Todos los vectores equipolentes a uno dado definen un vector libre. Los vectores libres se denotan por ṽ, por [AB] o por AB y pueden venir representados por cualquier vector fijo del conjunto de vectores equipolentes que lo definen.

Las coordenadas de un vector libre ṽ son las coordenadas de uno cualquiera de sus representantes vectores fijos:

v̅ = (a, b) 

El módulo de un vector libre ṽ es el módulo de uno cualquiera de sus representantes vectores fijos:

|v̅| = √a² + b²

 

 

                                

Vector fijo.

Vector fijo : un vector fijo de origen A y extremo B, es un segmento orientado caracterizadado por:

        -Dirección o recta que lo contiene
        -Sentido u orientación de la recta
        -Módulo o longitud del segmento correspondiente

Imagen vector fijo:

Coordenadas de un vector fijo:Llamamos coordenadas de un vector fijo AB, de origen A(a1,b1) y extremo B(a2,b2), a los números que se obtienen al resta a las coordenadas del extremo las del origen

Módulo de un vector fijo: por definición, el módulo de un vector fijo es la distancia entre el origen A(a1,b1) y el extremo B(a2,b2)

Geometría analítica .

A René Descartes (1596-1650) se le considera el fundador de la geometría analítica, que no es más que una geometría aritmetizada y algebraizada. El abanico de sus aplicaciones es múltiple desde arquitectura, ingeniería, diseños industriales, ect .Debido a las propiedades que imprime a las construcciones y los recursos artísticos que las dotan de belleza y armonía, hasta la planificación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Hay tres tipos de geometría:

1. Geometría clásica o euclídica : que son los teoremas (Pitágoras, Tales...)y la semejanza
2. Geometría vectorial : V_2  : vectores fijos y vectores libres
3. Geometría analítica

Ecuaciones con números complejos.

Teorema fundamental del álgebra:
Toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes reales o complejos,
                          a_n ᴢⁿ + a_n-1 ᴢ^n-1 + a_n-2 ᴢ^n-2 + … + a₂ ᴢ²  + a₁ ᴢ + a₀ = 0
  tiene n raíces o soluciones en el conjunto de los números complejos.

Ejemplos:      a)      ᴢ² - 4ᴢ + 8 = 0

Aplicando la conocida fórmula de la ecuación de segundo grado, obtenemos:

 b)      ᴢ³ + 4ᴢ² + 9ᴢ + 36 = 0

   Como es una ecuación de grado superior factorizamos el polinomio, y obtenemos:
    Por tanto, las soluciones de la ecuación son:

ᴢ₁ = -4                  ᴢ₂ = 3i                  ᴢ₃ = -3i

Radicación de complejos en forma polar.

Las raíces n-ésimas de un número complejo m_α son:

ⁿ√m_α = (ⁿ√m) _{α + 360º ⋅k / n}

Con k= 0,1,2, …, n-1

Observamos que un número complejo ᴢ = m_α:

-          Tiene n raíces n-ésimas.

-          Todas sus raíces tienen el mismo módulo, --, por lo que sus respectivos afijos estarán en una circunferencia de radio igual al módulo común.

Los afijos de las raíces n-ésimas de ᴢ son los vértices de un polígono regular de n lados.

Fórmula de Moivre.

Fórmula de Moivre.
Si expresamos el resultado obtenido al calcular la potencia n-ésima, (m_α)ⁿ = (mⁿ)_nα en forma trigonométrica , obtenemos:

 [m (cos α + i sen α)]ⁿ = mⁿ (cos nα + i sen nα)

Si hacemos m=1. Fórmula de Moivre:
                                                                                       (cos α + i sen α)ⁿ = cos nα + i sen nα

Esta fórmula es muy útil en trigonometría, ya que permite calcular cos nα y sen nα en función de sen α y cos α.

Potenciación de complejos en forma polar.

Potenciación de complejos en forma polar.

                                                                                         Zⁿ = (m_a)ⁿ = m_a ⋅ m_a ⋅ … ⋅ m_a = (mⁿ)_nα

La potencia n-ésima de un número complejo en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo, y por argumento n veces el argumento del complejo dado.

(m_α)ⁿ = (mⁿ)_nα

Cociente de complejos en forma polar

Para dividir dos números complejos y como consecuencia inmediata del producto, podemos deducir que se dividen los módulos y se restan los argumentos.

m_α / m’_β = (m/ m’) _α-β , ya que , (m/m’) _α-β ⋅ m’_β = (m ⋅ m’ / m’) _{α - β + β} = m_α

El cociente de dos números complejos en forma polar es otro complejo que tiene por módulo el cociente de los módulos, y por argumento la diferencia de los argumentos.

m_α / m’_β = (m /m’) _{α – β}

 

cociente números complejos

La división de números complejos se efectúa multiplicando numerador y de nominador por el complejo conjugado del denominador.

                     a+bi  / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di)  = (ac+bd)+(bc-ad)i  /c²+ d²

 

Producto de complejos en forma polar.

Para multiplicar los números complejos m_α y m’_β expresados en forma polar, los escribiremos en forma trigonométrica y, operando, obtenemos:

                                                                           m_α ⋅ m’_β = m(cos α + i sen α) ⋅ m’(cos β  + i sen β) =

                                                                 = mm’[(cos α cos β – sen α sen β) + i(cos α sen β + sen α cos β)]=

                                                                            = mm’ [cos (α + β) + i(sen(α + β))] = (mm’)_{α + β}

El producto de dos complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los módulos, y por argumento la suma de los argumentos.

                                                                                                         m_α ⋅ m’_β = (mm’) _{α + β}

Potencia de números complejos

La potencia (a + bi)ⁿ del número complejo a + bi y de exponente natural  se realiza desarrollando la potencia del binomio (a + bi) y teniendo en cuenta los valores que toman las sucesivas potencias del número i.

•  Los valores que toman las sucesivas potencias de la unidad imaginaria son:

 

                                                              (Observamos que los valores de las potencias de i se repiten de 4 en 4).